Question

8．已知a，b，c是一个三角形的三边，求证：a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²-2c²a²＜0．

Answer 1

分析 通过因式分解、变形可知a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²-2c²a²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c），利用三角形三边关系判断各个因式的正负，进而计算可得结论．

解答 证明：a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²-2c²a²
=（a⁴+b⁴+c⁴+2a²b²-2b²c²-2c²a²）-4a²b²
=（a²+b²-c²）²-（2ab）²
=（a²+b²-c²-2ab）（a²+b²-c²+2ab）
=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c），
∵a、b、c是一个三角形的三边，
∴a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，
∴（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）＜0，
即a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²-2c²a²＜0．

点评 本题考查因式分解的运用，利用完全平方公式、平方差公式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．