Question

18．已知焦点在x轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的长轴为4，焦距为2，过右焦点的直线l与椭圆交于A、B两点，|AB|=$\frac{24}{7}$，则直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 求得a，b，c，可得椭圆方程，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得斜率k，进而得到倾斜角．

解答 解：由题意可得a=2，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
右焦点F（1，0），直线l方程设为y=k（x-1），
代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
即有|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，
则|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{24}{7}$，
解得k=±1，
即有tanα=±1（α为倾斜角），
即有α=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，化简整理的能力，属于中档题．