Question

如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面

底面，且，、分别为、的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：面平面；

（3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？说明理由.

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）线段上存在点，使得二面角的余弦值为.

【解析】

试题分析：（1）连接经过点，利用中位线得到，再由直线与平面平行的判定定理得到

平面；（2）利用平面与平面垂直的性质定理结合侧面底面得到平面，从而得到，再由勾股定理证明，结合直线与平面垂直的判定定理证明平面，最后利用平面与平面垂直的判定定理得到平面平面；（3）取的中点，连接、，

利用平面与平面垂直的性质定理证明平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决题中二面角问题.

（1）证明：连接，由正方形性质可知，与相交于的中点，

也为中点，为中点.

所以在中，，

又平面，平面，

所以平面；

（2）证明：因为平面平面，平面面

为正方形，，平面，所以平面.

又平面，所以.

又，所以是等腰直角三角形，且，即.

又，且、面，所以面.

又面，所以面面；

（3）取的中点，连接、，因为，所以.

又侧面底面，平面平面，所以平面.

而、分别为、的中点，所以，

又是正方形，故.

以为原点,建立空间直角坐标系，

则有，，，，，

若在上存在点，使得二面角的余弦值为，连接、，

设，

则，，由（2）知平面的法向量为，

设平面的法向量为.则，即，解得，

令，得，

所以，解得（舍去）.

所以，线段上存在点，使得二面角的余弦值为.

考点：1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直的性质与判定；3.利用空间向量法处理二面角