Question

已知四棱锥中，平面，底面为菱形，=60，，是线段的中点．

    (1)求证：；

    (2)求平面与平面所成锐二面角的大小；

    (3)在线段上是否存在一点，使得∥平面PAE，并给出证明．

Answer 1

(1)略(2) （3）线段上存在一点，使得∥平面PAE，且F是PD的中点。

解析:

∵四边形ABCD是的菱形,E为边BC的中点,

∴AE⊥BC,AE⊥AD,又平面，∴PA⊥AE,PA⊥AD,以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系，设AB=2，则

，-------------1分

（1）-------------2分

∴------------------3分

即PE⊥AD  ---------------------4分

（2）设平面PCD的法向量为，则⊥，⊥，

∵

∴，

令，则，得平面PCD的一个法向量为，

又⊥平面PAE，则是平面PAE的一个法向量，设平面PAE与平面PCD所成角为，则

所以平面与平面所成锐二面角的大小为；------------------------8分

（3）在线段上存在一点，使得∥平面PAE，且F是PD的中点，

证明：取PA中点M,连结MF,易证四边形CFMB是平行四边形,所以CF∥EM,

又CF平面PAE,EM平面PAE,所以∥平面PAE.---------------------12分