Question

1．在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{m•{a}_{n}+1}$（m是常数，n∈N^*），a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比数列．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=a_n•a_n+1，数列{b_n}前n项和为S_n，求证：S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{m•{a}_{n}+1}$取倒数、整理可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=m+$\frac{1}{{a}_{n}}$，进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、m为公差的等差数列；
（2）通过（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=mn-m+1，利用a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比数列，计算可知m=2，进而可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n-1，从而可得结论；
（3）通过（2）、裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并项相加即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{m•{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{m•{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=m+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{1}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、m为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+m（n-1）=mn-m+1，
又∵a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比数列，
∴${{a}_{2}}^{2}$=a₁•a₅，
∴$（\frac{1}{{a}_{2}}）^{2}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$•$\frac{1}{{a}_{5}}$，
∴（m+1）²=1•（4m+1），
解得：m=2或m=0（舍），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n-1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{2n-1}$；
（3）证明：由（2）可知b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{2n-1}$•$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等差数列的判定，数列的通项及数列的求和，注意解题方法的积累，属于中档题．