Question

如图，设抛物线：的焦点为，准线为，过准线上一点且斜率为的直线交抛物线于，两点，线段的中点为，直线交抛物线于，两点．
（1）求抛物线的方程及的取值范围；
（2）是否存在值，使点是线段的中点？若存在，求出值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1），；（2）不存在.参考解析

试题分析：（1）由准线上一点，所以可以求得的值，即可取得抛物线的方程.由于直线与抛物线有两个交点，所以联立方程消去y，需要判别式大于零即可得到k的取值范围，又由于k等于零时没有两个交点，所以应排除，即可得到结论.
（2）是否存在值，使点是线段的中点.由直线AB的方程联立抛物线的方程，即可求得AB中点P的坐标.从而写出PF的方程再联立抛物线的方程，对比DE的中点是否与AB的中点相同.即可得到答案.
（1）由已知得，∴．∴抛物线方程为．  2分
设的方程为，，，，，
由得．                         4分
，解得，注意到不符合题意，
所以．                                   5分
（2）不存在值，使点是线段的中点．理由如下：       6分
有（1）得，所以，所以，，直线的方程为．            8分
由得，．  10分
当点为线段的中点时，有，即，因为，所以此方程无实数根．因此不存在值，使点是线段的中点．      12分