Question

已知函数f(x)=sinωxsin(ωx+

π

6

)-

3

4

(ω＞0)，且其图象的相邻对称轴间的距离为

π

4

．
（I） 求f（x）在区间[

11π

12

，

9π

8

]上的值域；
（II）在锐角△ABC中，若f(A-

π

8

)=

1

2

，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据题意求出周期，然后求ω的值，
由x的范围[

11π

12

，

9π

8

]，可得4x-

π

3

∈[

10π

3

，

25π

6

]，进而得到函数的值域；
（II）通过f(A-

π

8

)=

1

2

，求出A的值，利用余弦定理关于b+c的表达式，即可求出bc的值，进而可得△ABC的面积．

解答：解：（I）f(x)=sinωx(

3

2

sinωx+

1

2

cosωx)-

3

4

=

3

2

sin2ωx+

1

2

sinωxcosωx-

3

4

=

3

4

(1-cos2x)+

1

4

sin2ωx-

3

4

=

1

4

sin2ωx-

3

4

cos2ωx=

1

2

sin(2ωx-

π

3

)
由条件知，T=

π

2

，又T=

2π

2ω

，
∴ω=2，∴f(x)=

1

2

sin(4x-

π

3

)．
∵x∈[

11π

12

，

9π

8

]，∴4x-

π

3

∈[

10π

3

，

25π

6

]，
sin(4x-

π

3

)∈[-1，

1

2

]，
∴f（x）的值域是[-

1

2

，

1

4

]；
（II）由f(A-

π

8

)=

1

2

，得A=

π

3

，
由a=1，b+c=2及余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
得到a²=（b+c）²-2bc-2bccosA
故bc=1，
∴△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

3

4

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，解三角形的知识，二倍角公式、两角和的正弦函数、余弦定理的应用，考查计算能力，注意A的大小求解，是易错点．