Question

在双曲线=1的一支上有三个点A（x₁，y₁）、B（x₂,6）、C(x₃,y₃)与焦点F（0,5）的距离成等差数列．

(1)求y₁+y₃；

(2)求证线段AC的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

思路分析：利用双曲线的第二定义解(1)，利用点差法结合(1)的结果证(2)．

(1)解：依题意，得B在双曲线上支上，

故A、B、C三点都在双曲线的上支，且上准线的方程为y=．

|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，根据双曲线的第二定义，得

.故y₁+y₃=12．

(2)证明:由点A、C在双曲线上，故,=1．

    两式相减，得=0．

∴．

∴AC的垂直平分线的斜率为．

    又AC的中点坐标为（,6），故AC的垂直平分线方程为

y-6=.

    当x=0时，y=，故AC的垂直平分线过定点（0,）．

误区警示 本题属定值问题，存在的问题是一方面对定值的概念和求法弄不清楚，摸不出头绪；论另一方面不会运用式子的变换和曲线的定义．

方法归纳 关于定值问题，一般通过计算证明其值与曲线的点的位置无关，或与直线的斜率无关．为了证明的目的更明确，可通过特殊情况，求出一个常数，猜想出这个定值．不同的设法，可以得到不同的证法．