Question

设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=4，一条渐近线的倾斜角为60°．
（I）求双曲线C的方程和离心率；
（Ⅱ）若点P在双曲线C的右支上，且△PF₁F₂的周长为16，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（I）由题意得，

2c=4 b a =tan60° a2+b2=c2

，解出可得a，b，c，从而可得答案；
（Ⅱ）由（I）及已知可得|PF₁|+|PF₂|=12，PF₁|-|PF₂|=2，联立解出|PF₁|，设P（x₀，y₀），根据|PF₁|及点P在双曲线上可得方程组，解出即可；

解答：解：（Ⅰ）由题意得，

2c=4 b a =tan60° a2+b2=c2

，解得

a=1 b= 3 c=2

，
所以双曲线C的方程为x2-

y2

3

=1，离心率为2；
（Ⅱ）由△PF₁F₂的周长为16，得|PF₁|+|PF₂|=12①，
又点P在右支上，所以|PF₁|-|PF₂|=2②，
联立①②解得|PF₁|=7，
设P（x₀，y₀），则

(x0+2)2+(y0)2

=7③，x02-

y02

3

=1④，
联立③④解得

x0=3 y0=±2 6

或

x0=-4 y0=±3 5

（舍），
点P坐标为（3，，2

6

）或（3，-2

6

）

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的简单性质，考查方程思想，考查学生的运算求解能力．