Question

过椭圆C：

x2

6

+

y2

2

=1的右焦点F作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆交于A、B两点，且坐标原点O到直线l的距离d满足：0＜d＜

2 3

3

.
（I）证明点A和点B分别在第一、三象限；
（II）若

OA

•

OB

＞-

4

3

，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设直线方程为y=k（x-2），由0＜d＜

2 3

3

及k＞0，可知0＜k＜

2

2

.设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A、B坐标是方程组

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

的解，
消去y得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，再由根与系数的关系可以判断出A、B分别在第一、三象限．
（II）由

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

12k2-6

1+3k2

-

2k2

1+3k2

=

10k2-6

1+3k2

＞-

4

3

，能够推导出k的取值范围．

解答：解：（I）由已知，a=

6

，b=

2

，则c=2，F(2，0)，直线方程为y=k（x-2），由0＜d＜

2 3

3

及k＞0，得0＜

2k

1+k2

＜

2 3

3

，解这个不等式，得0＜k＜

2

2

.
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A、B坐标是方程组

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

的解，
消去y得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，则x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-6

1+3k2

，
y₁y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=k2(

12k2-6

1+3k2

-2•

12k2

1+3k2

+4)=-

2k2

1+3k2

＜0，
∵0＜k＜

2

2

，∴

12k2-6

1+3k2

＜0，即x1x2＜0，
不妨设x₁＜0，则x₂＞0，此时y₁=k（x₁-2）＜0，于是y₂＞0，
A、B分别在第一、三象限．
（II）由

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

12k2-6

1+3k2

-

2k2

1+3k2

=

10k2-6

1+3k2

＞-

4

3

，
注意到k＞0，解得k＞

3

3

.所以k的取值范围是(

3

3

，

2

2

).

点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．