Question

12．已知命题p：指数函数y=（1-a）^x是R上的增函数，命题q：不等式ax²+2x+1＞0在R上恒成立．若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p和命题q为真命题时a的取值范围，结合命题p是真命题，命题q是假命题，可得答案．

解答 解：命题p为真命题时，1-a＞1即a＜0．…（2分）
命题q：不等式ax²+2x-1＜0在R上恒成立，
当a=0时，不符合题意；
当a＞0时，
∵ax²+2x-1＞0在R上恒成立，
∴△=4-4a＜0，
∴a＞1．
命题q真时a＞1．   …（8分）
又命题q是假命题，
∴a≤1．
综上，命题p是真命题，命题q是假命题时，实数a的取值范围为（-∞，0）．…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的图象和性质，恒成立问题，难度中档．