Question

【题目】选修4-5：不等式选讲

已知f（x）＝|x+a|（a∈R）．

（1）若f（x）≥|2x﹣1|的解集为[0，2]，求a的值；

（2）若对任意x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥3a﹣2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用两边平方解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出a的值；

（2）利用绝对值不等式求出f（x）+|x﹣a|的最小值，把不等式f（x）+|x﹣a|≥3a﹣2化为只含有a的不等式，求出不等式解集即可．

（1）不等式f（x）≥|2x﹣1|，即|x+a|≥|2x﹣1|，

两边平方整理得3x2﹣（2a+4）x+1﹣a2≤0，

由题意知0和2是方程3x2﹣（2a+4）x+1﹣a2＝0的两个实数根，

即，解得a＝1；

（2）因为f（x）+|x﹣a|＝|x+a|+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|＝2|a|，

所以要使不等式f（x）+|x﹣a|≥3a﹣2恒成立，只需2|a|≥3a﹣2，

当a≥0时，2a≥3a﹣2，解得a≤2，即0≤a≤2；

当a＜0时，﹣2a≥3a﹣2，解得a≤，即a＜0；

综上所述，a的取值范围是（﹣∞，2]．