题目内容

在△ABC中，点G为中线AD上一点，且AG=
12
AD过点G的直线分别交AB，AC于点E，F，若AE=mAB，AF=nAC，则m+3n的最小值为
 
．
分析：如图所示，利用向量的运算法则可得
MG
=
AG
-
AM
=(
1
4
-m)
AB
+
1
4
AC
．
NG
=
AG
-
AN
=
1
4
AB
+(
1
4
-n)
AC
．再利用向量共线定理可得，存在实数t使得
MG
=t
NG
，利用向量相等即可得出：
1
m
+
1
n
=4．再利用基本不等式即可得出m+3n的最小值．
解答：解：如图所示，精英家教网
MG
=
AG
-
AM
=
1
2
AD
-m
AB
=
1
2
×
1
2
(
AB
+
AC
)-m
AB
=(
1
4
-m)
AB
+
1
4
AC
．
NG
=
AG
-
AN
=
1
2
AD
-n
AC
=
1
2
×
1
2
(
AB
+
AC
)-n
AC
=
1
4
AB
+(
1
4
-n)
AC
．
∵
MG
与
NG
共线，∴存在实数t，使得
MG
=t
NG
，
∴(
1
4
-m)
AB
+
1
4
AC
=t[
1
4
AB
+(
1
4
-n)
AC
]，
∴
1
4
-m=
1
4
t，
1
4
=t(
1
4
-n)，
消去t可得：
1
m
+
1
n
=4．
∵m＞0，n＞0，
∴m+3n=
1
4
(
1
m
+
1
n
)(m+3n)=
1
4
(4+
m
n
+
3n
m
)≥
1
4
(4+2
m
n
•
3n
m
)=2+
3
2
，
当且仅当m=
3
n=
3
+1
4
时取等号．
因此m+3n的最小值为
3
2
+1．
故答案为：
3
2
+1．
点评：本题综合考查了向量的运算法则、向量共线定理、向量相等、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．
练习册系列答案
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选考题
请从下列三道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卷上注明题号．
22-1设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|
（1）解不等式f（x）≤5x+1；
（2）若g(x)=
1
f(x)+m
定义域为R，求实数m的取值范围．
22-2如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ACD的外接圆交BC于E，AB=2AC，
（1）求证：BE=2AD；
（2）当AC=1，BC=2时，求AD的长．
22-3已知P为半圆C：
x=cosθ
y=sinθ
(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与半圆C上的弧AP的长度均为
π
3

（1）求以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（2）求直线AM的参数方程．
在△ABC中，点B（0，1），直线AD：2x-y-4=0是角A的平分线．直线CE：x-2y-6=0是AB边的中线．
（1）求边AC的直线方程；
（2）圆M：x2+（y+1）2=r2（1≤r≤3），自点C向圆M引切线CF，CG，切点为F、G．求：
CF
•
CG
的取值范围．
在△ABC中，点B（0，1），直线AD：2x﹣y﹣4=0是角A的平分线．直线CE：x﹣2y﹣6=0是AB边的中线．
（1）求边AC的直线方程；
（2）圆M：x2+（y+1）2=r2（1≤r≤3），自点C向圆M引切线CF，CG，切点为F、G．求：的取值范围．
在△ABC中，点B（0，1），直线AD：2x-y-4=0是角A的平分线．直线CE：x-2y-6=0是AB边的中线．
（1）求边AC的直线方程；
（2）圆M：x2+（y+1）2=r2（1≤r≤3），自点C向圆M引切线CF，CG，切点为F、G．求：的取值范围．

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