Question

8．直线y=a分别与直线y=3x+3，曲线y=2x+lnx交于A，B两点，则|AB|的最小值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，a），B（x₂，a），则3x₁+3=2x₂+lnx₂，表示出x₁，求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．

解答 解：设A（x₁，a），B（x₂，a），则3x₁+3=2x₂+lnx₂，
∴x₁=$\frac{1}{3}$（2x₂+lnx₂-3），
∴|AB|=x₂-x₁=$\frac{1}{3}$（x₂-lnx₂）+1，
令y=$\frac{1}{3}$（x-lnx）+1，则y′=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{x}$），
∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，函数的最小值为$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．