Question

用数学归纳法证明：1²-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1n²=（-1）^n-1

Answer 1

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=（-1）⁰=1，
故：左边=右边，
∴当n=1时，等式成立；
（2）假设n=k时，等式成立，即 1²﹣2²+3²﹣4²+…+（﹣1）^k-1k²=（-1）^k-1·
那么1²﹣2²+3²﹣4²+…+（﹣1）^k﹣1k²+（﹣1）^k（k+1）²
=（﹣1）^k-1·+（﹣1）^k（k+1）²
=（﹣1）^k·（﹣k+2k+2）=（﹣1）^{（k+1）﹣1}·
即当n=k+1时，等式也成立．
根据（1）和（2）可知等式对任何n∈N⁺都成立．