Question

数列{a_n}满足a1=

1

2

，Sn=n2an(n≥1)．
（1）求S₁，S₂，S₃并猜想S_n；
（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的正确性．

Answer 1

分析：（1）根据a1=

1

2

，Sn=n2an(n≥1)，可求 S₁=

1

2

，S2=

2

3

，S3=

3

4

，猜想：Sn=

n

n+1

(n∈N*)．
（2）①检验当n=1时结论成立，②假设Sk=

k

k+1

，由Sk+1=

(k+1)2

(k+1)2-1

Sk=

K+1

n+1+1

 可得结论当n=k+1时也成立，由①②知，结论对一切的n∈N^*成立．

解答：解：（1）当n≥2 时，Sn-Sn-1=an=

1

n2

Sn，故Sn=

n2

n2-1

Sn-1．
又S1=a1=

1

2

，故可得 S2=

2

3

，S3=

3

4

，猜想：Sn=

n

n+1

(n∈N*)．
（2）①当n=1时，结论显然成立． ②假设当n=k（k∈N^*）时，结论成立，即Sk=

k

k+1

．
当n=k+1时，Sk+1=

(k+1)2

(k+1)2-1

Sk=

(k+1)2

(k+1)2-1

•

k

k+1

=

k+1

k+2

=

k+1

(k+1)+1

，
故结论当n=k+1时也成立． 由①②知，结论对一切的n∈N^*成立．

点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明 SK=

K+1

n+1+1

是解题的难点．