题目内容
【题目】已知椭圆
：
，圆
：
，一动圆在
轴右侧与轴相切，同时与圆相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线
，椭圆与曲线有相同的焦点.
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线与椭圆相交于第一象限点
，且
，求椭圆的标准方程；
（3）在（2）的条件下，如果椭圆的左顶点为
，过且垂直于
轴的直线与椭圆交于
，
两点，直线
，
与直线
：
分别交于
，
两点，证明：四边形
的对角线的交点是椭圆的右顶点.
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
（1）设动圆圆心的坐标为
，
，计算化简得到答案.
（2）计算
，则
，得到答案.
（3）计算
，
，
，直线
的方程为
，令
，得
，得到答案.
（1）设动圆圆心的坐标为，因为动圆在
轴右侧与轴相切，同时与圆
相外切，所以，所以
，化简整理得
，
曲线
的方程为.
（2）依题意，
，
，可得
，故
点坐标为，
椭圆的另一焦点为
，
由两点间的距离可得
，
又由椭圆的定义得
，
.
所以
，所以椭圆
的标准方程为.
（3）由（2）知
，
，直线
的方程为
，
根据椭圆的对称性，当直线
轴时，四边形
是等腰梯形，对角线的交点在
轴上，此时直线
的方程为
，
由
，
，不妨取，，
故直线
的方程为
，将代入得，
所以直线的方程为，令，得，
即直线与轴的交点为
，此时恰好为椭圆的右顶点.
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