Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S5=

3

16

，a3=

1

4

，则

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

=

3

．

Answer 1

分析：设等比数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1，根据S5=

3

16

，a3=

1

4

列出公比、首项的等式，再结合等比数列各项的倒数也成等比数列，利用等比数列的求和公式计算，从而可求出结果．

解答：解：设等比数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1，
由S5=

3

16

，a3=

1

4

，得

a1(1-q5)

1-q

=

3

16

①
a1q2=

1

4

②
又

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

=

1 a1 [1-( 1 q )5]

1- 1 q

=

1

a 2 1 ×q4

a1(1-q5)

1-q

将①②代入上式得

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

=

1

( 1 4 )2

×

3

16

=3
故答案为：3．

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式、数列的求和，利用等比数列性质的能力，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．