Question

已知函数f（x）是一次函数，且f（8）=15f（2），f（5）f（14）成等比数列，设a_n=f（n），（n∈N^*）
（1）求T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．
（2）设b_n=2ⁿ，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，可设f（x）=ax+b；利用f²（5）=f（2）•f（14）得到a与b的值，确定出f（x）即可得到a_n为等差数列，利用等差数列求和的方法得到T_n即可；
（2）求出a_nb_n的通项，表示出s_n，求出它的二倍即相反数，相加即可得到s_n的通项．
解答：解：（1）设f（x）=ax+b，（a≠0）由f（8）=15f（2），f（5），f（14）成等比数列得
8a+b=15，f²（5）=f（2）•f（14）得（5a+b）²=（2a+b）（14a+b）得到：3a²+6ab=0
∵a≠0∴a=-2b由①②得a=2，b=-1，∴f（x）=2x-1
∴a_n=2n-1，显然数列{a_n}是首项a₁=1，公差d=2的等差数列
∴═．
（2）∵a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ∴s_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2s_n=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹
-s_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2³•（2^n-1-1）-（2n-1）2ⁿ⁺¹
∴s_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6
点评：考查学生等比数列的性质掌握的能力，等差数列求和公式的运用能力，运用方法求数列和的能力．