Question

【题目】已知函数f（x）= 在x=1处取得极值．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥ 恒成立，求实数m的取值范围；
（3）当n∈N* ， n≥2时，求证：nf（n）＜2+ + +…+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得 ，

所以f'（1）=1﹣a=0即a=1，∴ ，

令f'（x）＞0，可得0＜x＜1，令f'（x）＜0，可得x＞1，

所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．

（2）解：由题意要使x∈[1，+∞）时， 恒成立，

即 ，

记 ，则m≤[h（x）]min，

，又令g（x）=x﹣lnx，

则 ，又x≥1，所以 ，

所以g（x）在[1，+∞）上单调递增，

即g（x）≥g（1）=1＞0，

∴ ，

即h（x）在[1，+∞）上单调递增，

所以[h（x）]min=h（1）=2，∴m≤2．

（3）解：∵函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，

而 （n∈N*，n≥2），

∴ ，

∴ ，

即 ，

∴ ，

即 ，而nf（n）=1+lnn，

∴ 结论成立．

【解析】（1）求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为 ，令 ，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可；（3）求出ln（n+1）﹣lnn＜ ，结合nf（n）=1+lnn，证出结论即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．