Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）
①求抛物线方程；
②求△ABS面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：①利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；
②分类讨论，求出△ABS面积的表达式，即可求得其最大值．
解答：解：①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（x，y）
当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x₁+x₂+p=8，∴
又得，∴
所以
依题意，∴p=4
∴抛物线方程为y²=8x----（6分）
当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y²=8x
②当直线的斜率存在时，由M（2，y）及，
令y=0，得
又由y²=8x和得：
∴
∴----（12分）
当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，△ABS面积为
∵，∴△ABS面积的最大值为．
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．