Question

求函数y=

x2+a+1

x2+a

的最小值，其中a＞0．

Answer 1

分析：先由题意求出函数的定义域，再利用分离常数法将解析式化简，再进行换元并求出未知数的范围，代入后求出函数的单调性，再对a进行分类求出对应的最小值．

解答：解：由题意得，a＞0，则函数的定义域为R，
y=

x2+a+1

x2+a

=

x2+a

+

1

x2+a

，
设t=

x2+a

，则t≥

a

，函数变为y=t+

1

t

，且t≥

a

，
∴函数y=t+

1

t

在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
当

a

≤1时，即0＜a≤1时，函数的最小值为：y_min=1+1=2，
当

a

＞1时，即a＞1时，函数的最小值为：y_min=

a

+

1

a

，
综上得，当0＜a≤1时，y_min=2；当a＞1时，y_min=

a

+

1

a

．

点评：本题考查了利用函数的单调性求最值问题，关键是利用分离常数法将解析式化简，考查了分离常数法和换元法，分类讨论思想．