Question

对于区间[a，b]（a＜b），若函数y=f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y=f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．
（1）求函数y=x²的所有“保值”区间；
（2）函数y=x²+m（m≠0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中保值”区间的定义，结合函数y=x²的值域是[0，+∞），我们可得[a，b]⊆[0，+∞），从而函数y=x²在区间[a，b]上单调递增，则

a2=a b2=b.

，结合a＜b即可得到函数y=x²的“保值”区间．
（2）根据已知中保值”区间的定义，我们分函数y=x²+m在区间[a，b]上单调递减，和函数y=x²+m在区间[a，b]上单调递增，两种情况分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：（1）因为函数y=x²的值域是[0，+∞），且y=x²在[a，b]的值域是[a，b]，
所以[a，b]⊆[0，+∞），所以a≥0，从而函数y=x²在区间[a，b]上单调递增，
故有

a2=a b2=b.

解得

a=0，或 a=1 b=0，或 b=1.

又a＜b，所以

a=0 b=1.

所以函数y=x²的“保值”区间为[0，1]．…（3分）
（2）若函数y=x²+m（m≠0）存在“保值”区间，则有：
①若a＜b≤0，此时函数y=x²+m在区间[a，b]上单调递减，
所以 

a2+m=b b2+m=a.

消去m得a²-b²=b-a，整理得（a-b）（a+b+1）=0．
因为a＜b，所以a+b+1=0，即 a=-b-1．又

b≤0 -b-1＜b

所以 -

1

2

＜b≤0．
因为 m=-b2+a=-b2-b-1=-(b+

1

2

)2-

3

4

(-

1

2

＜b≤0)，所以 -1≤m＜-

3

4

．…（6分）
②若b＞a≥0，此时函数y=x²+m在区间[a，b]上单调递增，
所以 

a2+m=a b2+m=b.

消去m得a²-b²=a-b，整理得（a-b）（a+b-1）=0．
因为a＜b，所以 a+b-1=0，即 b=1-a．又

a≥0 a＜1-a

所以 0≤a＜

1

2

．
因为 m=-a2+a=-(a-

1

2

)2+

1

4

(0≤a＜

1

2

)，所以 0≤m＜

1

4

．
因为 m≠0，所以 0＜m＜

1

4

．…（9分）
综合 ①、②得，函数y=x²+m（m≠0）存在“保值”区间，此时m的取值范围是[-1， -

3

4

)∪(0， 

1

4

)．…（10分）

点评：本题考查的知识点是函数单调性，函数的值，其中正确理解新定义的含义，并根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组）将新定义转化为数学熟悉的数学模型是解答本题的关键．