Question

已知a＞0，求函数y=

x2+a+1

x2+a

的最小值．

Answer 1

y=

x2+a

+

1

x2+a

，
当0＜a≤1时，y=

x2+a

+

1

x2+a

≥2，
当且仅当x=±

1-a

时取等号，y_min=2．
当a＞1时，令t=

x2+a

（t≥

a

）．
y=f（t）=t+

1

t

．f'（t）=1-

1

t2

＞0．
∴f（t）在[

a

，+∞）上为增函数．
∴y≥f（

a

）=

a+1

a

，等号当t=

a

即x=0时成立，y_min=

a+1

a

．
综上，0＜a≤1时，y_min=2；
a＞1时，y_min=

a+1

a

．