Question

如图，圆与坐标轴交于点.
⑴求与直线垂直的圆的切线方程；
⑵设点是圆上任意一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，直线交直线于点，
①若点坐标为，求弦的长；②求证：为定值.

Answer 1

（1），（2）①：2，②：证明略.

试题分析：（1）所求直线与垂直，则斜率为负倒数关系，因此可依方程设出所求直线方程，利用圆心到此直线的距离为半径可求出此直线方程；（2）①为常考点，利用弦心距，半径，弦长的一半三者构成勾股定理的关系求解；②设直线的方程为：，把转化为含的代数式进行运算，也可设，把转化为含的代数式进行运算.
试题解析：，直线，⑴设所求切线方程为：，则，所以：；
⑵①：，圆心到直线的距离，所以弦的长为；（或由等边三角形亦可）.
②解法一：设直线的方程为：存在，，则
由，得，所以或，将代入直线，得，即，则，：，，，得，所以为定值．
解法二：设，则，直线，则，，直线，又，与交点，，将，代入得，所以，得为定值.