Question

【题目】已知△ABC中A，B，C所对的边分别为a，b，c， （1﹣cos2B）=8sinBsinC，A+ =π．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若点D在线段BC上，且BD=6，c=5，求△ADC的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ （1﹣cos2B）=8sinBsinC，
∴2 sin2B=8sinBsinC，
∴由sinB≠0，可得： sinB=4sinC，
∵A+ =π，
∴C= ，即B=2C，
∴sinB=sin2C=2sinCcosC，可得：cosC= = ，
∴cosB=cos2C=2cos2C﹣1=
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 sinB=4sinC，可得： b=4c，可得b=4 ，
由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：a2﹣6a﹣55=0，解得：a=11或a=﹣5（舍去），
∴CD=5，
又∵cosC= ，
∴sinC= ，
∴S△ADC= DCACsinC= =1
【解析】（Ⅰ）由二倍角公式化简已知等式可得 sinB=4sinC，由A+ =π，及三角形内角和定理可求B=2C，
可求cosC，进而由二倍角公式即可计算得解cosB的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理可求 b=4c，进而可求b=4 ，由余弦定理可得：a2﹣6a﹣55=0，解得a的值，
可求CD，利用同角三角函数基本关系式求得sinC，利用三角形面积公式可求S△ADC ．
【考点精析】关于本题考查的正弦定理的定义和余弦定理的定义，需要了解正弦定理:；余弦定理:;;才能得出正确答案．