Question

已知函数f（x）=x^k+b（常数k，b∈R）的图象过点（4，2）、（16，4）两点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）记f（x）的反函数为g（x），解不等式g（x）+g（x-1）＜2|x-2|；
（3）记f（x）的反函数为g（x），若不等式g（x）＞ax-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将（4，2）、（16，4）两点坐标代入函数f（x）=xk+b中，即可求出k、b的值，进而求得函数f（x）的解析式；
（2）根据前面求得的f（x）的解析式和题中已知条件可知函数g（x）的解析式，再解不等式
（3）不等式g（x）＞ax-1恒成立等价于不等式x²＞ax-1在x∈[0，+∞）上恒成立，再进行分类讨论．

解答：解：（1）

2=4k+b 4=16k+b

⇒b=0，k=

1

2

⇒f(x)=

x

---------------（4分）
（2）g（x）=x²（x≥0）---------------（6分）g（x）+g（x-1）＜2|x-2|?

x-1≥0 x2+(x-1)2＜2|x-2

---------------（8分）⇒x∈[1，

6

2

)---------------（10分）
（3）g（x）=x²（x≥0），不等式g（x）＞ax-1恒成立等价于
不等式x²＞ax-1在x∈[0，+∞）上恒成立---------------（12分）
当x=0时，不等式x²＞ax-1恒成立；a∈R---------------（14分）
当x＞0时，不等式a＜x+

1

x

恒成立，a＜(x+

1

x

)min=2---------------（17分）
综上，实数a的取值范围为a∈（-∞，2）---------------（18分）

点评：本题主要考查了函数解析式的求法，函数的在区间上的恒成立问题常转化为求函数的最值，常用分离参数法．属于中档题