题目内容

已知直线y=-x+1与椭圆 $数学公式$ =1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为 $数学公式$ ，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）若OA⊥OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离率e∈ $数学公式$ 时，求椭圆的长轴长的最大值．

解（1）∵e= $\text{[math]}$ ．又2c=2，解得a= $\text{[math]}$ ，
则b= $\text{[math]}$ ．
（2）
由 $\text{[math]}$
消去y得（a²+b²）•x²-2a²x+a²•（1-b²）=0，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1．
设A（x₁，y₁，），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ．
∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1．
∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0．
∴ $\text{[math]}$ +1=0．整理得a²+b²-2a²b²=0．
∵b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式得
2a²=1+ $\text{[math]}$ ，
∴a²= $\text{[math]}$ ．
∵e∈ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≤2，∴ $\text{[math]}$ ≤3，
∴ $\text{[math]}$ ，适合条件a²+b²＞1，
由此得 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，
故长轴长的最大值为 $\text{[math]}$
分析：（1）利用椭圆的离心率公式求出椭圆中的参数a，利用椭圆中三个参数的关系求出b，代入椭圆的方程求出椭圆的标准方程．
（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理求出两个交点的横、纵坐标之积；利用向量垂直的充要条件将
OA⊥OB用交点的坐标表示，得到椭圆的三个参数的一个等式，再利用椭圆的三个参数本身的关系得到参数a与离心率的关系，利用离心率的范围求出a的范围，得到椭圆的长轴长的最大值．
点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．