Question

已知直线y=x-1与双曲线交于两点M，N 线段MN的中点横坐标为-

2

3

双曲线焦点c为

7

，则双曲线方程为

 

．

Answer 1

分析：先设出曲线的方程，和M，N的坐标，分别代入直线方程相减求得y₁-y₂=x₁-x₂，利用MN中点的横坐标求得x₁+x₂，利用直线方程求得y₁+y₂，把M，N代入双曲线方程相减求得a和b的关系，进而利用c求得a和b，则双曲线的方程可得．

解答：解：设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，M，N （x₁，y₁） （x₂，y₂）
则y₁=x₁-1，y₂=x₂-1，两式相减求得y₁-y₂=x₁-x₂，

x 12

a2

-

y 12

b2

=1，

x 22

a2

-

y 22

b2

=1
两式相减得：

(x 1+x2)(x1-x2)

a2

-

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0
又因为x₁+x₂=-

4

3

y₁+y₂=x₁+x₂-2=-

10

3

∵y₁-y₂=x₁-x₂
所以

4

a2

=

10

b2

∵c=

a2+b2

=

7

求得a=

2

，b=

5

∴双曲线方程为

x2

2

-

y2

5

=1
故答案为：

x2

2

-

y2

5

=1

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便．