Question

6．求函数y=（log₂$\frac{x}{3}$）（log₂$\frac{x}{4}$）在区间[2$\sqrt{2}$，8]上的最值．

Answer 1

分析 进行对数的运算，并换成以2为底的对数，从而可得到y=（log₂$\frac{x}{3}$）（log₂$\frac{x}{4}$），由x的范围，可以得出log₂x的范围，从而可得出f（x）的最大、最小值，即得出f（x）的值域．

解答 解：y=（log₂$\frac{x}{3}$）（log₂$\frac{x}{4}$）=（log₂x-log₂3）（log₂x-2），令log₂x=t；
y=t²-（log₂3+2）t+2log₂3，
∵x∈[2$\sqrt{2}$，8]；
∴t=log₂x∈[$\frac{3}{2}$，3]；
y=t²-（log₂3+2）t+2log₂3，函数的对称轴为：t=$\frac{1}{2}$log₂3+1∈[$\frac{3}{2}$，3]；
t=$\frac{1}{2}$log₂3+1时函数取得最小值：（$\frac{1}{2}$log₂3+1-log₂3）（$\frac{1}{2}$log₂3+1-2）=-$lo{{g}^{2}}_{2}\sqrt{3}$，
∴log₂x=log₂3时，f（x）取最大值：0．
∴函数f（x）的最大值为0．最小值为：-$lo{{g}^{2}}_{2}\sqrt{3}$．

点评 考查对数的运算，对数的换底公式，以及配方处理二次式子的方法，对数函数的单调性，二次函数的最值．