Question

18．矩形ABCD中，AB=1，BC=2，P是BC的中点，Q是CD上的动点．
（I）求$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$的最小值；
（Ⅱ）求（$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}$）$•\overrightarrow{AD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立坐标系，设出点的坐标，根据向量的坐标的运算以及函数的单调性即可求出最值；
（Ⅱ）根据向量的坐标的运算即可求出．

解答 解：（I）以A为原点，以AB为x轴，AD为y轴建立坐标系如图所示，
∴A（0，0），（D（0，2），P（1，1），
设Q为（x，2），（0≤x≤1），
∴$\overrightarrow{AP}$=（1，1），$\overrightarrow{AQ}$=（x，2），
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$=x+2
设f（x）=x+2，
易知f（x）在[0，1]上为增函数，
∴f（x）_min=f（0）=2，
故$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$的最小值为2，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，$\overrightarrow{AD}$=（0，2），$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AQ}$=（1+x，3）
∴（$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}$）$•\overrightarrow{AD}$=6．

点评 本题考查向量的数量积的坐标运算，考查数形结合的思想方法，属于基础题．