题目内容

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，长轴长等于12，离心率为
1
3
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）在椭圆上任取一点P，过P点做y轴垂线段PQ，Q为垂足，当P在椭圆上运动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
（Ⅰ）由题意知，2a=12，
c
a
=
1
3
，故a=6，c=2，
∴b2=a2-c2=32，
故所求椭圆的方程为：
x2
36
+
y2
32
=1．
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M（x，y），
点P的坐标是（x0，y0），
那么：
x0=2x
y0=y
，
由点P在椭圆上，得
4x2
36
+
y2
32
=1，即
y2
32
+
x2
9
=1，
∴线段PQ中点M的轨迹方程是
y2
32
+
x2
9
=1．
练习册系列答案
相关题目
过双曲线
x2
3
-y2=1的右焦点F2，作倾斜角为
π
4
的直线交双曲线于A、B两点，
求：（1）|AB|的值；
（2）△F1AB的周长（F1为双曲线的左焦点）．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足|
F1Q
|=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
PT
•
TF2
=0，|
TF2
|≠0．
（1）求证：|PQ|=|PF2|；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）若椭圆的离心率e=
3
2
，试判断轨迹C上是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2，若存在，请求出∠F1MF2的正切值．
AB是过抛物线x2=y的焦点一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度为（　　）
A．
5
2
B．
5
4
C．2D．3
过点M（1，1）作一直线与椭圆
x2
9
+
y2
4
=1相交于A，B两点，若M点恰好为弦AB的中点，则AB所在直线的方程为______．
如图，点F是椭圆W：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点，A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为
1
2
，三角形ABF的面积为
3
3
2
，
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）对于x轴上的点P（t，0），椭圆W上存在点Q，使得PQ⊥AQ，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆W交于不同的两点M、N（M、N异于椭圆的左右顶点），若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（
2
+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1；
（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
若椭圆
x2
4
+
y2
a2
=1与双曲线
x2
a
-
y2
2
=1有相同的焦点，则a的值是（　　）
A．1B．-1C．±1D．2
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），经过点（3，-2）与向量（-1，1）平行的直线l交椭圆C于A，B两点，交x轴于M点，又
AM
=2
MB
．
（Ⅰ）求椭圆C长轴长的取值范围；
（Ⅱ）若|
AB
|=
3
2
2
，求椭圆C的方程．

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