题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足|
F1Q
|=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
PT
•
TF2
=0，|
TF2
|≠0．
（1）求证：|PQ|=|PF2|；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）若椭圆的离心率e=
3
2
，试判断轨迹C上是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2，若存在，请求出∠F1MF2的正切值．
（1）由椭圆的定义有|PF1|+|PF2|=2a，
又|QF1|=|PF1|+|QP|=2a，
∴|PQ|=|PF2|．
（2）由（1）得|PQ|=|PF2|，又
PT
•
TF2
=0，|
TF2
|≠0．
∴点T为QF2的中点，
又点O是线段F1F2的中点，
∴OT是△QF1F2的中位线．
∴|OT|=
1
2
|QF1|=a，所以点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2．
（3）假设C上存在点M（x0，y0）使S=b2的充要条件是
x20
+
y20
=a2…(3)
1
2
•2c|y0|=b2…(4)
，
由题意得|y0|≤a，由（4）得|y0|=
b2
c
．
所以若要存在点M，使S=b2，必须a≥
b2
c
，即ac≥b2 ，
∴ac≥a2-c2，两边同除以a2得e2+e-1≥0，解得
5
-1
2
≤e＜1，或e≤
-
5
-1
2
（舍去）．
∵
3
2
∈[
5
-1
2
，1），
故当椭圆的离心率e=
3
2
时，轨迹C上存在点M，使△F1MF2的面积S=b2．
在此条件下，
MF1
=(-c-x0，-y0)，
MF2
=(c-x0，-y0)，
由
MF1
•
MF2
=
x20
-c2+
y20
=a2-c2=b2，
MF1
•
MF2
=|
MF1
|•|
MF2
|cos∠F1MF2，S=
1
2
|
MF1
|•|
MF2
|sin∠F1MF2=b2，
得tan∠F1MF2=2．
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椭圆
x2
8
+
y2
4
=1上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值为______．
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x2
4
-
y2
5
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2
|AF|，则A点的横坐标为（　　）
A．2
2
B．3C．2
3
D．4
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x2
a2
+
y2
b2
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π
4
的直线交椭圆于C、D，求△CDF1的面积；
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从圆O：x2+y2=4上任意一点P向x轴作垂线，垂足为P′，点M是线段PP′的中点，则点M的轨迹方程是（　　）
A．
9x2
16
+
y2
4
=1		B．
9y2
16
+
x2
4
=1
C．x2+
y2
4
=1		D．
x2
4
+y2=1
已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，长轴长等于12，离心率为
1
3
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
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1
2
)，直线l交C于A，B两点，过点P且平行于y轴的直线分别与直线l和x轴相交于点M，N．
（1）求p的值；
（2）是否存在定点Q，当直线l过点Q时，△PAM与△PBN的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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