题目内容

已知 $数学公式$ 展开式中的前三项系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ 展开式中的前三项系数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列，
∴2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，即n²-9n+8=0，
∴n=8或n=1（舍去），
∴n=8；
（2）∵ $\text{[math]}$ 展开式的通项公式T_r+1= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，
∴要使T_r+1项为常数项，则8-2r=0，
∴r=4，
∴常数项为：T₅= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由于 $\text{[math]}$ 展开式中的前三项系数为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，这三数成等差数列?2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，从而可求得n；
（2）由（1）求得n=8，利用 $\text{[math]}$ 展开式的通项公式T_r+1= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ =0求得r，从而可求得展开式中的常数项．
点评：本题考查二项式定理的应用与等差数列的性质，关键是掌握好二项展开式的通项公式，属于中档题．