Question

已知(

x

+

1

2 x

)n展开式中的前三项系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项．

Answer 1

分析：（1）由于(

x

+

1

2 x

)n展开式中的前三项系数为：

C

0 n

，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

，这三数成等差数列⇒2×

1

2

C

1 n

=

C

0 n

+

1

4

C

2 n

，从而可求得n；
（2）由（1）求得n=8，利用(

x

+

1

2 x

)n展开式的通项公式T_r+1=

C

r n

•(x

1

2

)n-r•(

1

2

)r•(x-

1

2

)r=(

1

2

)r•

C

r n

•x

n-2r

2

，由

n-r

2

=0求得r，从而可求得展开式中的常数项．

解答：解：（1）∵(

x

+

1

2 x

)n展开式中的前三项系数

C

0 n

，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

成等差数列，
∴2×

1

2

C

1 n

=

C

0 n

+

1

4

C

2 n

，即n²-9n+8=0，
∴n=8或n=1（舍去），
∴n=8；
（2）∵(

x

+

1

2 x

)8展开式的通项公式T_r+1=

C

r 8

•(x

1

2

)8-r•(

1

2

)r•(x-

1

2

)r=(

1

2

)r•

C

r 8

•x

8-2r

2

，
∴要使T_r+1项为常数项，则8-2r=0，
∴r=4，
∴常数项为：T₅=(

1

2

)4•

C

4 8

=

35

8

．

点评：本题考查二项式定理的应用与等差数列的性质，关键是掌握好二项展开式的通项公式，属于中档题．