Question

（2009•卢湾区二模）若函数f(x)=2sin2x-2

3

sinxsin(x-

π

2

)能使得不等式|f（x）-m|＜2在区间(0， 

2π

3

)上恒成立，则实数m的取值范围是

（1，2]

．

Answer 1

分析：：利用诱导公式及二倍角、辅助角公式对函数化简可得f（x）=1+2sin(2x-

π

6

)，由0＜x＜

2π

3

可求sin（2x-

π

6

）的范围，进而可求f（x）得范围，而|f（x）-m|＜2 即m-2＜f（x）＜2+m在区间(0， 

2π

3

)上恒成立可得

2+m＞3 m-2≤0

，可求

解答：解：∵f(x)=2sin2x-2

3

sinxsin(x-

π

2

)
=2sin2x+2

3

sinxcosx
=1-cos2x+

3

sin2x=1+2sin(2x-

π

6

)
∵0＜x＜

2π

3

∴-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

∴-

1

2

＜sin(2x-

π

6

)≤1  即0＜f（x）≤3
∵|f（x）-m|＜2 即m-2＜f（x）＜2+m在区间(0， 

2π

3

)上恒成立
∴

2+m＞3 m-2≤0

解可得，1＜m≤2
故答案为：（1，2]

点评：本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，解题的关键是灵活利用三角函数的诱导公式、二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质求解．