Question

用数学归纳法证明：

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n

＞

9

10

（n＞1，且n∈N^*）．

Answer 1

分析：先证明n=2时，结论成立；假设n=k（k＞1，且k∈N^*）时结论成立，利用归纳假设，证明n=k+1时结论成立．

解答：证明：（1）n=2时，左边=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

57

60

＞

9

10

，不等式成立；
（2）假设n=k（k＞1，且k∈N^*）时结论成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

＞

9

10

则n=k+1时，左边=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

3k

+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

-

1

k+1

＞

9

10

+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

-

1

k+1

=

9

10

+

2

(3k+1)(3k+3)

+

1

(3k+2)(3k+3)

＞

9

10

即n=k+1时结论成立
综上，

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n

＞

9

10

（n＞1，且n∈N^*）．

点评：本题考查数学归纳法，考查不等式的证明，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．