Question

已知椭圆方程为，它的一个顶点为M（0，1），离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求椭圆的方程，它的一个顶点为M（0，1），离心率．建立方程求同a，b，即可得到椭圆的方程．
（2）由于已知坐标原点O到直线l的距离为，故求△AOB面积的最大值的问题转化为求线段AB的最大值的问题，由弦长公式将其表示出来，再判断最值即可得到线段AB的最大值．
解答：解：（1）设，
依题意得（2分）解得．（3分）∴椭圆的方程为．．（4分）
（2）①当AB．（5分）
②当AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知，得，．．（6分）
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴（7分）
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²===．
当且仅当时等号成立，此时|AB|=2．（10分）
③当（11分）
综上所述：|AB|_max=2，
此时△AOB面积取最大值（12分）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解答本题关键是对直线AB的位置关系进行讨论，可能的最值来，本题由于要联立方程求弦长，故运算量比较大，又都是符号运算，极易出错，做题时要严谨认真．利用弦长公式求弦长，规律固定，因此此类题难度降低不少，因为有此固定规律，方法易找，只是运算量较大．