Question

【题目】在如图所示的四棱锥 中，四边形ABCD为正方形， 平面PAB,且 分别为 的中点， .

证明：
（1） 平 ;
（2）若 ，求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）解: 证明: 连结BD,分别的交 于点 ，连结

为BD中点， E为PD中点， .又 为ED中点，

又 为OD的中点，

平面 平面 平面FMN.

（2）解: 平面 ,又 平面 .

如图，以A为坐标原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴轴建立空间直角坐标系，

则 ,则

平面ABCD,

平面ABC的一个法向量 ,设平面AEC的法向量为 ,

则 ,即 ,

令x=1,则 ,

由图可知，二面角 为饨角， 二面角 的余弦值

【解析】(1)结合题意作出辅助线，由题中的长度关系可得证BP∥FG,由线面平行的判定定理即可证出P B ∥ 平面FMN.(2)根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标，设出平面ABCD和平面EAC的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用向量的数量积运算公式求出余弦值即可。
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．