Question

若曲线y=

1-x2

与直线y=x+b始终有交点，则b的取值范围是

 

；若有一个交点，则b的取值范围是

 

；若有两个交点，则b的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据曲线方程的特点得到此曲线的图象为一个半圆如图所示，然后分别求出相切、过（-1，0）及过（1，0）的直线方程，利用图象即可得到满足条件的b的范围．

解答：解：曲线y=

1-x2

代表半圆，图象如图所示．
当直线与半圆相切时，圆心（0，0）到直线y=x+b的距离d=

|b|

1+1

=r=1，
解得b=

2

，b=-

2

（舍去），
当直线过（-1，0）时，把（-1，0）代入直线方程y=x+b中解得b=1；
当直线过（1，0）时，把（1，0）代入直线方程y=x+b中解得b=-1．
根据图象可知直线与圆有交点时，b的取值范围是：[-1，

2

]；
当有一个交点时，b的取值范围为：[-1，1）∪{

2

}；
当有两个交点时，b的取值范围是：[1，

2

）．
故答案为：[-1，

2

]；[-1，1)∪{

2

}；[1，

2

)

点评：本题考查学生掌握直线与圆的位置关系的判别方法，灵活运用数形结合的数学思想解决实际问题．是一道综合题．