Question

设M={x∈R|y=lg（3-4x+x²）}，当x∈M时，求f（x）=2^x+2-3×4^x的最大值及相应的x的值．

Answer 1

分析：根据题意，可求得M，将函数f（x）化简后，令t=2^x，转化为f（t）=-3t²+4t，利用二次函数的性质求解最值及相应的x的值即可．

解答：解：∵y=lg（3-4x+x²），
∴3-4x+x²＞0，
解得x＜1或x＞3，
∴M={x|x＜1，或x＞3}，
则f（x）=2^x+2-3×4^x=4×2^x-3×（2^x）²，
令2^x=t，
∵x＜1或x＞3，
∴t＞8或0＜t＜2，
∴f（t）=4t-3t²=-3t²+4t=-3（t-

2

3

）²+

4

3

（t＞8或0＜t＜2），
∴对称轴为t=

2

3

，对应的图象是开口向下的抛物线，
又∵t=

2

3

∈（-∞，8）∪（0，2），
∴当2^x=t=

2

3

，
即x=log₂

2

3

时，f（x）_max=

4

3

，
故当x=log₂

2

3

时，
f（x）取到最大值为

4

3

．

点评：本题主要考查了对数函数的定义域，以指数函数的最值的求解为载体进而考查了二次函数在区间上的最值班的求解，体现了转化思想在解题中的运用，是一道综合性比较好的试题．属于中档题．