Question

设M={(x，y)

x+y-3≥0 y≤4 x≤1

}，Q是x轴上一个动点，定点R（2，3），当点P在M所表示的平面区域内运动时，设|PQ|+|QR|的最小值构成的集合为S，则S中最大的数是

58

．

Answer 1

分析：先画出满足条件

x+y-3≥0 y≤4 x≤1

的平面区域，把|PQ|+|QR|可以取到的最小值问题转化为可行域内的点P到M点的距离最小问题即可．

解答：解：由题可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，
R关于x轴对称的点为M（2，-3），
又A（1，2），B（-1，4）．根据对称性，把|PQ|+|QR|可以取到的最小值问题转化为可行域内的点P到M点的距离最小值问题．
由图可知：
则|PQ|+|QR|可以取到的最小值即为可行域内的点A到M的距离，
即（|PQ|+|QR|）_min等于点A到M的距离，即为：|AM|=

26

，
|PQ|+|QR|可以取到的最大值即为可行域内的点B到M的距离，
即（|PQ|+|QR|）_max等于点B到M的距离，即为：|BM|=

58

，
故|PQ|+|QR|的最小值构成的集合为S=[

26

，

58

]，则S中最大的数是

58

．
故答案为：

58

．

点评：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与P之间的距离问题．属于基础题．