Question

【题目】如图，一个角形海湾AOB，∠AOB＝2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l（l为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：

方案一 如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中＝l；

方案二 如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CD＝l；

（1）求方案一中养殖区的面积S1 ；

（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S2＝ ；

（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）为使养殖区面积最大，应选择方案一．

【解析】分析：（1）设，利用弧长公式得，再利用扇形的面积公式，即可求解；

（2）设，由余弦定理和基本不等式得，再利用三角形的面积公式，即可证得；

（3）由（1）（2）得，令，求得，求得函数的单调性，得，得，作出相应的选择．

详解：解：（1）设OP＝r，则l＝r·2θ，即r＝，

所以 S1＝lr＝，θ∈(0，)．

(2)设OC＝a，OD＝b．由余弦定理，得l2＝a2＋b2－2abcos2θ，所以

l2≥2ab－2abcos2θ．

所以ab≤，当且仅当a＝b时“＝”成立．

所以S△OCD＝absin2θ≤＝，即S2＝．

(3)－＝ (tanθ－θ)，θ∈(0，)，．

令f(θ)＝tanθ－θ，则f (θ)＝()－1＝．

当θ∈(0，)时，f (θ)＞0，所以f(θ)在[0，)上单调增，所以，当θ∈(0，)，

总有f(θ)＞f(0)＝0．所以－＞0，得S1＞S2．

答：为使养殖区面积最大，应选择方案一．(没有作答扣一分)