Question

9．已知点M（1，m）（m＞1），若点N（x，y）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ y≤mx\\ x+y≤1\end{array}\right.$表示的平面区域内，且$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$（O为
坐标原点）的最大值为2，则m=$1+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用向量的数量积化简表达式，得到目标函数，画出可行域，利用最优解求解即可．

解答 解：$1+\sqrt{2}$$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=x+my$，令x+my=z，
作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ y≤mx\\ x+y≤1\end{array}\right.$表示的可行域，由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{x+y=1}\end{array}\right.$
解得A（$\frac{1}{1+m}$，$\frac{m}{1+m}$），
当m≥0时，目标函数在A处取得最大值2．
分析知当$x=\frac{1}{1+m}，y=\frac{m}{1+m}$时，z_max=2．
所以$\frac{1}{m+1}+m•\frac{m}{m+1}=2$，解之得$m=1+\sqrt{2}$或$m=1-\sqrt{2}$（舍去），
所以$m=1+\sqrt{2}$．
故答案为：$1+\sqrt{2}$．

点评 本题考查线性规划的简单应用，考查目标函数的最值的求法，值域可行域以及目标函数的最优解是解题的关键．