Question

已知f（x）=3+log₂x，x∈[1，4]，则g（x）=f（x²）-[f（x）]²有

1. A.
   最大值-2，最小值-18
2. B.
   最大值-6，最小值-18
3. C.
   最大值-6，最小值-11
4. D.
   最大值-2，最小值-11

Answer 1

C
分析：根据复合函数对应法则，得g（x）=（log₂x）²-4log₂x-6．再换元：令log₂x=t，得g（x）=-t²-4t-6，其中0≤t≤1．最后结合二次函数在区间上求最值的方法，可得到本题的答案．
解答：g（x）=f（x²）-[f（x）]²=3+log₂x²-（3+log₂x）²=（log₂x）²-4log₂x-6
令log₂x=t，结合x∈[1，4]且x²∈[1，4]，得1≤x≤2
g（x）=F（t）=-t²-4t-6，其中0≤t≤1
∵F（t）=-t²-4t-6=-（t-2）²-10，在[0，1]上是减函数
∴t=0时，F（t）的最大值为-6；t=1时，F（t）的最小值为-11
即g（x）的最大值为-6，最小值为-11
故选：C
点评：本题给出以log₂x为单位元的“类二次”函数，求函数的最值．着重考查了对数运算法则、复合函数运算和二次函数在区间上求最值的方法等知识，属于中档题．