Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x2+mx+

7

2

（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．
（1）求直线l的方程及实数m的值；
（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）-f（2a）＜

b-a

2a

．

Answer 1

分析：（1）先根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程，最后将切线方程与 g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

(m＜0)联立方程组，使方程组只有一解，利用判别式建立等量关系，求出m即可；
（2）先求出h（x）的解析式，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值；
（3）f（a+b）-f（2a）=ln（a+b）-ln2a=ln

a+b

2a

=ln（1+

b-a

2a

）．由（2）知当x∈（-1，0）时，h（x）＜h（0）由ln（1+x）＜x，
ln（1+

b-a

2a

）＜

b-a

2a

即可得出f（a+b）-f（2a）＜

b-a

2a

．

解答：解：（1）∵f′(x)=

1

x

，∴f'（1）=1．
∴直线l的斜率为1，且与函数f（x）的图象的切点坐标为（1，0）．
∴直线l的方程为y=x-1．（2分）
又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，
∴方程组

y=x-1 y= 1 2 x2+mx+ 7 2

有一解．
由上述方程消去y，并整理得x2+2（m-1）x+9=0①
依题意，方程①有两个相等的实数根，
∴△=[2（m-1）]2-4×9=0
解之，得m=4或m=-2
∵m＜0，∴m=-2．（5分）
（2）由（1）可知 g(x)=

1

2

x2-2x+

7

2

，
∴g'（x）=x-2∴h（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1）．（6分）
∴h′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．（7分）
∴当x∈（-1，0）时，h'（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0．
∴当x=0时，h（x）取最大值，其最大值为2，
（3）f（a+b）-f（2a）=ln（a+b）-ln2a=ln

a+b

2a

=ln（1+

b-a

2a

）．
∵0＜b＜a，∴-a，∴-

1

2

＜

b-a

2a

＜0．
由（2）知当x∈（-1，0）时，h（x）＜h（0）∴当x∈（-1，0）时，ln（1+x）＜x，
ln（1+

b-a

2a

）＜

b-a

2a

．∴f（a+b）-f（2a）＜

b-a

2a

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于基础题．