题目内容

如图，函数y=2sin（πx+φ），x∈R（其中0＜φ≤ $数学公式$ ）的图象与y轴交与点（0，1）．
（1）求φ的值；
（2）设P是图象上的最高点，M，N是图象与x轴交点，求 $数学公式$ 夹角的余弦值．

解：（1）把点（0，1）代入函数y=2sin（πx+φ）可得，sinφ= $\text{[math]}$ ，再由0＜φ≤ $\text{[math]}$ 知φ= $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）知函数y=2sin（πx+ $\text{[math]}$ ），结合图象可得点P（ $\text{[math]}$ ，2 ），
M（- $\text{[math]}$ ，0），N （ $\text{[math]}$ ，0），故PM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，PN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，MN=1，
△PMN中，由余弦定理可得 1= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -2× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ cos＜ $\text{[math]}$ ＞，
解得 cos＜ $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）把点（0，1）代入函数y=2sin（πx+φ），再由∅的取值范围求出φ的值．
（2）由（1）知函数y=2sin（πx+ $\text{[math]}$ ），结合图象可得点P（ $\text{[math]}$ ，2 ），M（- $\text{[math]}$ ，0），N （ $\text{[math]}$ ，0），△PMN中，由余弦定理可求得cos＜ $\text{[math]}$ ＞的值．
点评：本题主要考查余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，以及由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，属于中档题．