Question

如图，函数y=2sin（πx+φ），x∈R，（其中0≤φ≤

π

2

）的图象与y轴交于点（0，1）．设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，则

PM

与

PN

的夹角为

arccos

15

17

．

Answer 1

分析：要求

PM

与

PN

的夹角，必须先要坐标表示向量，故必须先求函数的解析式，利用条件图象与y轴交于点（0，1）可求．

解答：解：由题意，图象与y轴交于点（0，1），∴2sinφ=1，∴φ=

π

6

由y=2sin（πx+

π

6

）=0，得M，N的坐标分别为(-

1

6

，0)，(

5

6

，0)
又P的坐标为(

1

3

，2)
∴

PM

=(-

1

2

，-2)，

PN

=(

1

2

，-2)
∴cosθ=

- 1 4 +4

1 4 +4

=

15

17

∴

PM

与

PN

的夹角为arccos

15

17

故答案为arccos

15

17

点评：本题的考点是反三角函数的运用，主要考查三角函数解析式的求解，考查向量数量积公式的运用，正确计算是关键．