Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意知，能够导出．再由可以导出椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4）．由得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，再由根与系数的关系证明直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．
（Ⅲ）分MN的斜率存在与不存在两种情况讨论，当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x-1），且M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）在椭圆C上．由得（4m²+3）x²-8m²x+4m²-12=0．再由根据判别式和根与系数的关系求解的取值范围；当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1，易得M、N的坐标，进而可得的取值范围，综合可得答案．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，
所以．
即．
又因为，
所以a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4）．
由得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0．①
设点B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则A（x₁，-y₁）．
直线AE的方程为．
令y=0，得．
将y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入，
整理，得．②
由①得，代入②
整理，得x=1．
所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．
（Ⅲ）当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x-1），且M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）在椭圆C上．
由得（4m²+3）x²-8m²x+4m²-12=0．
易知△＞0．
所以，，．
则=．
因为m²≥0，所以．
所以．
当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1．
解得，N（1，）或M（1，）、N（1，-）．
此时．
所以的取值范围是．
点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线 与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．