Question

已知函数在处有极大值．

（1）当时，函数的图象在抛物线的下方，求的取值范围．

（2）若过原点有三条直线与曲线相切，求的取值范围；

 

 

Answer 1

（1） ；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先利用导数及函数极大值点的条件确定的值；而当时，函数的图象在抛物线的下方，等价于在时恒成立，即在时恒成立，于是问题转化为函数在区间的最值问题；

（2）设切点为，利用切线斜率的定义及导数的几何意义建立关于的方程，

然后将此方程有三个不同的实数解的问题转化为函数的零点问题．

试题解析：【解析】
（1），

或，

当时，函数在处取得极小值，舍去；

当时，，

函数在处取得极大值，符合题意，∴．（3分）

∵当时，函数的图象在抛物线的下方，

∴在时恒成立，

即在时恒成立，令，

则，由得，．

∵，，，，

∴在上的最小值是，．（6分）

（2），设切点为，

则切线斜率为，

切线方程为，

即 ，

∴．

令，则，

由得，．

函数的单调性如下：

	↗	极大值	↘	极小值	↗

 

∴当时，方程有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线相切．（12分）

考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、等价转化的思想；3、导数的几何意义．